小数老师说

今天又是一道函数零点的题目，通过这种题目出现的概率，大家也可以看到，这真是高考的热点啊！所以，同学们学与不学，自己选择吧！

分析

本题是一道函数零点问题，通过题目条件，我们要抓住以下几个点：分段函数、零点的转化、含参一次函数的图像，如果掌握了这3个点，这道题就不难解出。

回顾

1分段函数

分段函数是近年高考的热点，也是易错点。同学们出错的关键在于三点：

（1）分段函数一般会有2段以上的函数，同学们不理解分段，而错误的变成了2个函数；

（2）由于有了分段点，在考虑函数的图像以及单调性或奇偶性时出错，尤其是单调性；

（3）分段函数中会涉及到函数图像的平移或翻折等变换，同学们对变换掌握不好，导致图像做错。

后面我会专门针对分段函数出一篇文章，大家注意关注。

2函数零点转化

可以转化为函数与x轴交点的横坐标；或者转化为对应方程的根；还可以转化为两函数的交点的横坐标。

所以，如果考察函数的零点个数，只需要看此函数与x轴有几个交点，或者对应方程有几个根，或者两个函数有几个交点即可。

注意：零点不是点，极值点也不是点。

3含参一次函数图像

对于一次函数y=kx+b，图像是一条经过（0，b）的直线，k代表斜率。

对于一次函数y=kx+k，图像是一条经过（-1,0）的直线，k代表斜率。

对于一次函数y=2x+b，图像是一条平行于直线y=2x的直线，b代表直线上下平移，上加下减。

解析

因为

在（-1,1]内有且仅有两个不同的零点

所以方程f(x)=mx+m有2个根，所以函数y= f(x)与y=mx+m有2个交点，

接下来，我们就要分别做两个函数的图像了

首先是函数y=f(x)的图像，要注意分段点在哪里，还要注意左边反比例函数的平移变换（y=x^-1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到下图）

然后再做y=mx+m，首先要考虑m是否为0，

当m=0时，y=0，即x轴，

当m≠0时，根据上面的分析，我们知道这是一个一次函数，并且恒过点（-1,0）点，图像如下：

通过上图，我们会发现这个一次函数的图像是在绕着定点（-1,0）在转动，所以，在转动的过程中，与上面的分段函数有两个交点，如图：

通过上面的图像，我们可以找到4个临界的点，分别求出对应的m值，其范围就能确定了！

选择答案A。

注：在第一个临界范围的时候，一次函数与双曲线函数是相切的，利用导数的几何定义或者联立方程，令判别式等于0均可以。

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